对一个“世纪数学难题”的重新思考

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，方程的输出便开始失去意义：对同一流体，从相同的初始条件开始，可能会出现两个 或更多的 非常不同的终态。如果这种情况发生的话，就意味着这些方程就不能可靠地反映我们想要描述的物理世界。

失效的方程式

为了说明这些方程会如何失效，可以以海流的流动为例。在它的内部可能有许多个交叉水流，以不同的速度和方向在不同的区域流动。这些交叉水流在不断变化的摩擦和水压的作用中相互作用，并决定着流体之后的流动。

数学家用一幅能告诉我们流体中每个位置的水流方向和大小的图来模拟这种相互作用。这种被称为 向量场 的图是流体内部动态的写照。NS方程将这种写照更提升了一个层次，它能准确地告诉我们向量场在随后的每个时刻会变成什么样子。

○ 风的向量场图示：在每一点上，风都有一个特定的方向和大小。 | 图片来源：Windy.com

这些方程描述的流体的流动就好比牛顿方程预测的行星在未来的位置一样可靠，物理学家一直在用它们对流体运动进行模拟和预测，得到的结果与实验结果相符。然而，对数学家来说，他们需要的不仅是轶事证实，还需要证明这些方程是不能被违反的： 不管起始于哪个向量场，也不管预测的是多么遥远的未来，这些方程总会且只能给你一个独一无二的新向量场 。

这就是千禧年大奖问题的主题，它探讨的问题是NS方程是否对所有时刻的所有起点都有解。这些解必须为流体中的每个点的流动提供精确的方向和大小。以无限精细的分辨率提供信息的解被称为 “光滑”解 。一个光滑解能让向量场中的每一个点都有与其相关的向量，使流体可以“平稳地”在场内流动，而不会陷在那些无从知道下一步该往哪移动的没有向量的点上。

光滑解是物理世界的完整写照，但从数学上讲，它们可能并不总是存在。研究NS方程的数学家们担心这种情况出现：假如我们正在运行NS方程，并观察向量场会如何变化。过了一段时间后，方程显示流体中的某个粒子正以无限快的速度移动——问题便来了。NS方程涉及到的是对流体中的压力、摩擦力和速度等性质的变化进行测量，它们取这些量的导数。我们无法对无穷大的值进行求导，所以说如果这些方程里出现了一个无穷大的值，那么方程就可被认作为失效了。它们不再具有描述流体的后续状态的能力。

同时，失效也是一个预示着方程中失去了某些应该描述却没能描述的物理世界。Buckmaster 说：“这也许意味着方程没能捕获到真实流体的所有效应，因为在真实流体中，我们不会看到粒子以无限快的速度运动。”

如果谁能找到NS方程绝不发生失效、或能确定让其失效的条件，谁就解决了NS方程难题。数学家对着一问题的其中一个研究策略，就是首先放宽它们的解的一些要求。

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