天壤之别在拓扑

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2017-03-15 10:50

正文

从数学的观点看，一个汉字可以视为一个图（graph）。一个图就是由若干个（通常是有限多个）顶点组成的集合，并且在这些顶点之间指定了一些相连关系（用连线示意）。因此，图只不过是带有结构（即表示了相连关系的边）的点集。

为了将一个汉字视为图，我们只需要将各个笔画的端点、拐点以及任意两个笔画的交叉点标记为顶点即可。在这个意义下，几乎每个汉字都是一个图，只有〇除外。

图这一数学术语是由英国数学家西尔维斯特（J. J. Sylvester）在1878年首次引入的。他当时考虑的是，将图的观念应用到化学中以描述分子的结构。比如，我们都知道，甲烷分子 CH ₄ 的图是一个正四面体，四个氢原子H位于正四面体的四个顶点，而碳原子C在中心，通过化学键与各个氢原子相连。

计算机科学中涉及的网络，乃至于普通的人际关系网络，也可以视为一种图。比如，也许你听说过所谓的“六度分割理论”，这其实就属于图论。可以想见，图论有诸多应用。

对图的研究形成了一门学问，即图论。而图论的研究，就是从确定一个图的“拓扑笔画数”问题开始的，那是瑞士大数学家欧拉1736年的工作。因此，欧拉（Euler）被公认为是图论的创始人，1736年可以称为“图论元年”。

欧拉所解决的图论问题，后来以“哥尼斯堡七桥问题”而著称于世。经过抽象以后，问题就是：下述网络可否“一笔画”；如果不能“一笔画”，其“拓扑笔画数”又是多少？（读者不妨先试一试。）

哥尼斯堡七座桥的图

在报告欧拉的美妙结果之前，我想着重解释一下，这个问题中的“拓扑”出现在哪里？其实拓扑一开头在我朋友的评论中就出现了。当他说“我可以用两笔写完凹、凸这两个字”时，实际上还隐含了一层意思，即凹与凸是“同构”（结构相同）的。

我们说两个汉字（更一般的，两个图）同构，是指在它们的顶点集之间存在一一对应，使得第一个汉字的各个顶点之间的相连关系在该对应下保持不变。

对应在化学上，两个组成成分（顶点）相同的化合物，如果不同构（相连关系无法匹配），就互称为对方的同分异构体（ isomers ）。

在凹与凸的情况，它们同构是显而易见的。

从拓扑学的观点来看，我们在考察汉字时，对同构的字可以视为等同。所以，在拓扑学家看来，凹、凸是一样的。现在请你考虑以下三个问题：左与右是否同构，日与月是否同构，天与地是否同构？

直觉会告诉你，这三个问题的回答都是否定的。如果你想极肯定地回答这些问题，需要一些基本的观察。

第一个观察是，两个汉字如果同构，其顶点数一定相同。这是因为，同构要求在两个汉字的顶点集之间形成一一对应。现在你数一数这些字的顶点数，会发现，左是11个顶点，右是9个顶点，自然不同构。类似地，日与月、天与地，都不同构。