专栏名称: 星海航纪

为什么蓝星人永远建不成太空电梯？

星海航纪 · 知乎专栏 · · 2015-10-21 14:03

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来源： Mars Elevator | Wanderers ，经作者 Erik Wernquist 授权后使用。

不过，材料破坏与否并不是仅仅看受力大小，还要看力所作用的面积。这一点很好理解，在同样大小的拉力下，越细的管子越容易被拉断。所以我们需要用“应力（力除以作用面积）”来衡量太空电梯是否会被破坏。如果太空电梯的截面积是均匀的话，那么很显然，受到拉力最大的地方，也就是同步轨道处最容易发生断裂。

我们有没有什么办法让整个太空电梯内部所受到的应力相等呢？当然有了！我们知道了拉力是随着高度增加而变大，那么一架 等强度（内部拉应力均相等） 太空电梯的截面积也应该随着高度增加而变大。因此，优化的太空电梯方案就从一条粗细均匀的“悬链”变成了上粗下细的漏斗状“悬链”。

此外，我们还能通过力学上的分析获得拉力大小随高度变化的函数，那么理想太空电梯的横截面积变化函数也就能够轻易地得到了。

（注：具体推导与计算部分已全部标注出来，读者可以选择性跳过）

推导①

设太空电梯内部拉力、横截面积随距离 $x$ （与地心的距离）的变化函数分别为 $T(x)$ 和 $A(x)$ 。

应用牛顿第二定律
$dT= -\rho A(x) g(x)dx$
其中，等效加速度 $g(x)$ 是重力加速度与离心加速度的矢量和
$g(x) = -\frac{GM}{x^2} + x\Omega^2$
拉力还可以表示为应力乘以截面积 $dT = d(\sigma(x) A(x))$ 。由于我们假设整个电梯内应力为常值，那么 $\sigma(x) = \sigma$

$\frac{dA(x)}{dx} = -\frac{\rho}{\sigma} A(x) g(x)$

积分后我们可以得到
$A(x) = A _ 0 \exp{\left(- \frac{\rho}{\sigma} \left[ G M \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x _ 0} \right) + \frac{1}{2} \Omega^2 (x^2 - x _ 0^2) \right] \right)}$
其中下标 $_0$ 代表行星表面的值. 以地球为例，我们有 $x_0=R_E$ 。太空电梯起始处的横截面积为 $A(x_0)=A_0$ 。地球同步轨道（GEO）处的横截面积用 $A(x_{GEO})$ 来表示，将地球的相关数据带入，可以计算出