Leibniz 如何想出微积分？（二）

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, u 2 , , u n ，那么从甲地登到乙地共升高

另一方面这又等于 v n +1 - v 1 ，参见下图 1。

图1

例子：考虑立方数列及其各阶差分数列：

由此我们立即读出

1+7+19+37+61=125-0=125,

7+19+37+61+91=216-1=215,

6+12+18+24+30=91-1=90,

12+18+24+30=91-7=84 。

Leibniz 发现这个规律，觉得非常新奇、美妙，像小孩子玩积木一样兴奋不已。进一步，他研究 Pascal 三角（1654年，又叫算术三角）。Pascal 三角是作为开方、二项式展开、排列组合与机率之用，参见[2]，Leibniz 却从中玩索出差和分的道理。下面我们列出 Pascal 三角常见的三种排法：

(I)

(II)

(III)

问题： 请说明上述 Pascal 三角的构成法。

在(II)的排列法中，斜对角在线的数相加，所得到的数恰好构成费氏数列(Fibonacci sequence)：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

这个数列含有许多美妙的性质，我们不预备讲述。

由(III)的排列法中，Leibniz 立即读出许多关于行或列求和的结果，例如

3+6+10+15 = (4-1) + (10-4) + (20-10) + (35-20) = 35-1 = 34

同理

10+20+35+56=126-5=121 。

Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 时，对 Huygens 描述他用求差来求和的结果，Huygens 立即建议他做下面富于挑战性的问题。

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