瘟疫是如何蔓延的？

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2025-05-03 14:24

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是流行病学中重要的参数，它表示在全易感人群中（没有任何预防手段介入并且所有人对此病原体没有免疫力的情况下），一个感染者在其感染周期内平均能传染的人数（图 4），即

\mathcal{R}_0 = \beta\cdot T = \frac{\beta}{\gamma}

注意，为避免与第 0 天的移除者数量混淆，本文采用花体表示基本传染数。 通常的值越大，表明疾病的传播潜力越强，控制疾病越困难。 当 < 1 时，每个感染者传染给不到一个人，传染病将逐渐消退。如果 > 1，传染病将以指数级速度蔓延，可能发展为大规模流行病。例如，COVID-19 奥密克戎变异株的约为 7 ^[3] ，远大于 1，显示其具有高度传染性。然而，这种情况通常不会无限持续，因为易感人口将因感染后死亡或获得免疫而逐渐减少。若 = 1，传染病将在人群中持续存在，形成地方性流行。

在 SIR 模型中，判断一种传染病能否持续流行不仅取决于基本传染数，还与当前易感者人数有直接关系。 可以将 SIR 模型中描述感染者变化的方程重写为如下形式： $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = \frac{\beta}{N} \cdot I \cdot\left( S - S_c\right),\quad S_c = \frac{\gamma N}{\beta}$ 其中， $S_c$ 为临界易感者数。上式表明，当易感者人数大于临界易感者数（ > ）时， > 0，感染人数将继续增加；相反，当 < 时， < 0，新增的感染者数小于移除的感染者数，感染人数将不断减少。感染者的最大数量出现在 = 处，此时 = 0。

还可以通过分析相轨迹来研究 SIR 模型的特征。由于模型中的三个微分方程是解耦的，只需要考虑微分方程组中的前两式。将两式相除可以消去，得到： $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S} = -1 + \frac{\gamma}{\beta S/N}$ 对上述方程积分，可以得到 - 相平面中的轨迹： $I_0+S_0-\frac{\gamma N}{\beta} \ln S_0 = I+S-\frac{\gamma N}{\beta} \ln S = \text{常数}$ 相平面中的轨迹如图 5 所示，相轨迹描述了易感者和感染者之间的关系。初始时刻，所有初始值和满足 + = 。对于 > 0，则有 + < 。随着时间推移，逐渐减少，先增加后减少，最终趋于零。相轨迹的形状取决于初始条件和。当 > 时，感染人数会先增加到一个峰值，然后逐渐减少，表明发生了疫情； 而当 < 时，感染人数单调减少，表明疫情不会发生。