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4.4 Hausdorff维数及其相关（4）—— 人生代代无穷已，江月年年望相似

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2017-04-02 21:16

正文

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根据构造，我们很容易可以发现，集合 $\mathcal C$ 在区间 $[0,\,\frac 1 3]$ 的部分和它在 $[\frac 2 3 ,\,1]$ 的部分是一样的，因为Cantor先生是用同样的方式去处理这些集合的嘛。不仅如此，如果我们把这两个部分的任意一个拉伸 $3$ 倍，再平移一下，我们就可以得到原来的集合 $\mathcal C$ .

这就是集合 $\mathcal C$ 神奇的地方：它可以被拆成好几个部分，并且每个部分都“相似”于整个集合。用数学的语言就是，

$\mathcal C=S_1(\mathcal C)\cup S_2(\mathcal C),$

其中 $S_1,\,S_2\colon \mathbb R \to \mathbb R$ 是两个线性映射： $S_1(x)=\frac 1 3 x,\,S_2(x)=\frac 1 3 x +\frac 2 3.$ 当然我们还可以把这个式子迭代下去

$\mathcal C=S_1(S_1(\mathcal C))\cup S_1(S_2(\mathcal C))\cup S_2(S_1(\mathcal C))\cup S_2(S_2(\mathcal C)).$

而它所对应的就是Cantor集合的第二层分解，然后以此类推。我们可以看到，这样的相似性是在每一层都有的，所谓“年年岁岁花相似”。虽然如此，它们之间还是有很多不同的，并且这个不同是用线性映射的复合给出的，所谓“岁岁年年人不同”。既然我们有Cantor集这个实例，我们就来把它一般化，看看会不会有更多的例子吧。

如同上面那样，我们先固定一族映射 $\mathcal S=\{S_1,\,\dots,\,S_N\},\,N\ge 2$ ，使得每个映照 $S_i,\,1\le i\le N$ 都是这样的形式：

$S_i(x)=r_i A_i x+z_i,\,x\in \mathbb R^n,$

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