华罗庚：学数学要“熟”、“练”、“化”

消化是一个过程，不能着急。知识不是一下子就能消化得了的。某些知识和技能甚至需要几个反复，才能消化和掌握，但是每走一步都细细咀嚼一下，消化就会好一些。在消化的过程中，适当做点儿难题是有好处的。做难题可以达到进一步训练思维的目的，可以开阔眼界，使得思维更灵活。

有的同学怕做难题，我认为是不必怕的。要知道做一道难题所遇到的因难和你们将来参加会主义建设所遇到的困难相比，是算不了什么的。而且我们所说的这些难题都离不开书本，既是书本上有的东西，肯定是能够用书本上的知识来解决的。

当然，我也不提倡一味的做难题。所谓难题是比较而言的，而且是在学好基本知识、练好基本功的前提下，有一部分同学可以适当的做些难题。如果为做难题而做难题，不注意扎扎实实地学好基本知识，是不妥当的。

关于“化”的标准。

把书本上的题都演了，算不算达到“化”了呢？不算。但是“化”的标准也不是高不可攀的。“化”的标准就是我们常说的“由薄到厚”再“由厚到薄”。在学习的过程中，听老师讲解后懂得的东西多了，原先不懂的，现在懂了，这也就是“由薄到厚。而“由厚到薄”，不是说把学的东西忘了，而是经常体会、运用、理解了，消化了。

大家可以回忆：学二元一次方程组时，学了好几种解答的方法，有消元法、代人法、公式法等，至少有五、六种。书上讲一种方法，篇幅要占两页，学六种方法就有十几页，事实上，需不需要记住那么多呢？实际上，解二元一次方程组的要点是消掉一个变数，留下一个变数，各种方法都是为了达到这目的。解三元一次方程组，同样是先消去一个变数，留下两个变数，然后再消去一个变数，留下一个变数。高三的同学学过了行列式 （编者注：现行高中教材中没有行列式的知识） ，你们知道，对于计算行列式，消元法也是很重要的。不论一个方程组有多少个未知数，去解时都要用消元法。

因此，“化”的标准就是要看，在学习以后究竟变“薄”了没有，也就是说，是否概括掌握所学的知识的要点，是否掌握到问题的本质，是否能够举一反三，触类旁通。

要达到“化”，就要“熟”和“练”。

同学可以说，学知识要消化，我们同意，但怎样才能达到消化的程度呢？我认为要达到“化”，不外“熟”和 “练”。

什么叫“熟”？把知识念“熟”很重要，但是我说的“熟”不是和尚念经那样的熟，而是消化了的“熟”，就是每复习一遍都有所提高。什么叫“练”呢？大家可能想“练”就是多做习题。这当然不错，但是练不能盲目的练，要有先复习后作题的习惯，要会分析题，真正弄明白了再去做习题，不要机械地套公式。练也不只是多练，经常练，而且更重要的是活练。比如，同学们家中可能有小弟弟，小妺妹，他(她)们来问你问题，你不愿回答，这样，一是风格不够高，再就是你失去了一个练的机会。这实际上是一个很好的锻炼机会，看了会不会，会，就启发小弟弟小妹妹去做，不会，你就复习复习，说明有些东西过去没搞清楚再加加工，这是好机会，别等数学考试考不出来才去复习。

在锻炼里，最重要的问题是“活练”，也是今天讲的中心问题。活练的意思是：看见问题就想一想，问一问为什么？动动手看会不会。

有没有问题？问题多得很。如茶杯有没有问题，有人说这是喝茶的，没有数学问题。其实看到茶杯可以想到很多数学问题：第一，从来没有见到茶杯盖掉进茶杯里，但方的茶叶筒盖子却经常掉进去，椭圆的也会掉进去。思考问题就来了： 是不是还有别的形状的盖子不能掉进去？ 这样后来试了试，方的不行，六角的、八角的，椭圆的都不行，这样就会想到，除了圆以外都不行了。但我要告诉大家，的确有别的图形掉不进去，如拿一个两脚规，固定一端为圆心划弧，然后把另一端固定在所划弧上，以同样半径划弧，再以两弧的交点为圆心，以同样的半径划弧，就得到三个弧交点的图形(图1)。这样的图形掉得下去否，大家不妨试一下，想一想。

图1 Reuleaux三角形，由机械师Reuleaux发现的，他发现用这样的形状代替圆盘可以节约材料