正文
直观理解连续,就是数轴上没有坑了,再也不可能有别的数了。
实数的连续性是非常重要而且基础的性质,没有实数连续性,函数就不连续,函数不连续,可微可导微积分都没有了,真不知道世界会是什么样子。
再比如,我们想想,有理数是一个个的点,长度为0,就算无数多个有理数加起来,长度还是为0,那么长度是哪里来的?连续的实数才有长度,怎么证明?也无法证明,这是关于连续性的一种性质。
至此,我们把实数称为”完备“。
当然,还有人说,我可以不破坏实数的各种性质,但是可以在实数的缝隙里面加上无穷小量(在上面的实数理论中,无穷小量不是确确实实的数,只是一个概念),就这么创造了新的实数,这种实数自有它的用处,不过目前不是主流。
1.5 数学并非科学
什么是科学?科学很重要的一点是,可以被证伪。比如说我们说水的沸点是100摄氏度,那到底是不是呢?用温度计量了就知道。科学的研究需要用事实来证明或者证伪。
从实数理论来看,我们可以认识到一点,数学并非科学。比如上面说的无穷小量到底是不是数,就可以被随意的定义了,在这个基础上,没有逻辑矛盾的推出了各种理论理论,自然也没有办法证明和证伪。
所以数学会从各种公理出发建立很多分支,不过如果和科学研究脱钩的话,这个分支也不会有很多人去研究它,慢慢也就失去了活力。当然也有很多分支本来也只是少数数学家的玩具,后来被发现可以作为工具进行各种数学研究。现在可能最纯粹的数学只有”数论“了。
想起一个爱因斯坦的公案,爱因斯坦作为一个理论物理学家,工作方式很像是一个数学家,从光速不变这个假设出发,推出了”相对论“,学术界都说,你好牛哦,说的好有道理哦,但是,诺贝尔物理学奖没有办法颁给他,因为证明不了也证伪不了!颁奖委员会当时的心态是”我好想给爱因斯坦颁奖哦“,就在爱因斯坦的研究中找个靠谱的”光电效应“颁奖。
虚数这个名字,指出了一点,虚数在现实中没有对应物的,是一个人工数。
似乎是人工数就必然不真实,让我们来看看是不是?
2.1 虚数开始是数学家的玩具
古代的数学家也和我们一样,也玩24点,意大利米兰有个数学家叫做卡当,出了一个题,能否把10分成两部分,让它的乘积为40?他给出的答案是,
,这里负数第一次出现在了根式里,不过就好像几何题划的辅助线一样,虽然参与运算,但是并没有意义。数学家也不可能给辅助线专门定义一个概念。
2.2 虚数似乎没有充分存在的理由
虚数
,这个就是
的定义。
听它的名字就感觉它是“虚”的:
-
从自然数扩张到整数:
增加的负数可以对应“欠债、减少”
-
从整数扩张到有理数:
增加的分数可以对应“分割、部分”
-
从有理数扩张到实数:
增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度(
)”
-
从实数扩张到复数:
增加的虚数对应什么?
虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了(即复数开方运算之后得到的仍然是复数)。
看起来我们没有必要去理会
到底等于多少,我们规定
没有意义就可以了嘛,就好像
一样。
我们来看一下,一元二次方程
的万能公式:其根可以表示为:
,其判别式
。
-
:
有两个不等的实数根