第一性原理：与张首晟先生一席谈

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欧氏几何

球面几何

单值化定理

依据张首晟先生的第一性原理，曲面几何中最为简单而普世的定理非单值化定理莫属。纷繁杂乱的各种曲面，最终会共形地归结为三种标准几何中的一种，球面几何、欧氏几何和双曲几何。这种化繁为简、万宗归一的理论极大地简化了纯粹理论的探索和实用几何算法的设计。埃舍尔的天使与恶魔系列惟妙惟肖地描绘了单值化定理。张首晟先生将最近发现的粒子取名为“天使粒子”，正是因为看了汤姆 汉克斯的《天使与恶魔》。

这种追求简单而普适的思想在几何中是一以贯之的基本准则。曲面单值化定理在三维流形上的推广是瑟斯顿的几何化定理。三维流形可以用拓扑和操作分解成素的三流形，每个素的三流形都容许八种几何中的一种。其中紧的封闭三流形，如果所有的圈都能缩成一个点，那么它和三维球面拓扑同胚，这就是著名的庞加莱猜想。

黎奇流

为了证明庞加莱猜想，哈密尔顿提出了黎奇流的概念。黎奇流将流形的度量依随时间演化，度量的变换速率和当前的黎奇曲率成正比，使得曲率的变化满足某种非线性扩散-反应方程，当系统达到平衡态的时候，曲率处处为常数。但是，在某些几何拓扑条件下，反应项占据优势，曲率在有限时间内会发生爆破。我们在爆破点将流形一分二，对每一部分施加黎奇流进一步形变。我们需要证明，曲率爆破的次数是有限的。

和连续曲面黎奇流的理论相平行的离散曲面黎奇流的理论已经完全被建立起来，并且转换成强有力的算法，在许多工程和医疗领域发挥着重要作用。张先生告诉老顾有物理学家做过类似的工作，并且给出了具体的名字。同时，张先生也非常关注离散黎奇流在三维流形方面的进展。我向他解释了我们在双曲三流形方面完成的一些工作。几何定理的自动证明一直是数学家梦寐以求的事情。

吴文俊先生的机器定理证明

张先生谈起了人工智能的发展，联结主义的神经网络突飞猛进；符号主义的机器定理证明也在稳步前进。吴文俊先生的机器定理证明足可以证明几乎所有的欧几里得几何命题，很多时候给出了奇特新颖的证明方法。但是，计算机无法将冗长的证明分解成有几何意义的引理， 人类对于计算机给出证明的理解非常困难。 同时迄今为止，计算机也没有发现非常深刻的、人类尚未知道的基本定理。

吴先生发明的机器证明方法思路如下：我们将条件用多项式表示，结论也用多项式表示。我们需要证明结论多项式被包含在条件多项式生成的理想里面。这可以用Grobner基方法或者吴方法来验证。吴方法忽略根的重数，因而更有效率。 Grobner基方法给出完整信息。两种算法的收敛性由希尔伯特定理所保证：多项式环中所有的理想都是有限生成的。但是， Grobner基方法的复杂度可以非常之高，解某些问题的复杂度可以超越指数级。这种代数方法非常普适，可以用于研究黎曼面的几何问题。

对于黎曼面的研究有多种手法，一种方法是用几何分析的方法，建立几何偏微分方程来解；另一种是将黎曼面用代数曲线来表示，用代数几何的方法来研究。代数的方法绝对精确，最后也归结为理想成员判断问题，因此计算复杂度非常高。几何偏微分方程的方法可以适度近似，因此更为迅速高效，在实践中应用更加广泛。但是，有很多几何问题只有代数方法才能给出答案，例如连接分析和拓扑的黎曼-罗赫定理。

费马最后定理

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