正文
,
𝐵
接下来让我们回到数学中。
从群论的视角来看，音级的名称就可以视为一个
循环群
，因为升高 12 个半音后会回到相同的音名上（即八度关系）。因此，十二平均律的音名集合可以被描述为
模 12 的整数加法群
Z12
，即
𝑍
12
=
{
0
,
1
,
2
,
…
,
11
}
,
其中不同元素表示不同音级（ 例如
C = 0 ，
C
♯ = 1，
D = 2,..., B = 11
），加法表示音程叠加（例如，对应 C + 7 = G, 对应 7 半音），而模运算确保音名循环。
引入 Z12 的好处就是，它可以解释很多音乐理论中的概念，例如：
1. 移调：
构造映射 Tn：Z12
→Z12，
其中Tn（x）：=（x + n）mod12
T
n
(
x
)
:=
(
x
+
n
)
m
o
d
12
" role="presentation" style=" word-break: break-word; display: inline-block; line-height: normal; font-size-adjust: none; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; ">
一个移调的例子，第一行的旋律处于 D 大调，而第二行的旋律与之完全相同，只是整体下降了一个大三度，变为 B♭ 大调。
2.
转位：
构造映射
In：Z12
→Z12
，其中I
n（x）：=（-x + n）mod12
3. 如果我们把十二个音名分别画出来，放在正十二边形的顶点上，构成一个
音类圆周
。那么
T
n
实际上是让音类圆周绕中心进行旋转，而
I
n
代表沿过音类圆周中心的对角线的反射。
显然
T
n
，
I
n
的操作集合保持此正十二边形不变，因此它们构成了
二面体群
D
12
。
移调和转位的操作集合构成了二面体群 D_{12}
4. 在 Z
12
群中，我们可以将
和弦
视为一个
子集
，例如 C 大三和弦 { 0 , 4 , 7 } 以及 c 小三和弦 { 0 , 3 , 7 }。既然我们有了一个子集，就可以利用群作用的一些概念和性质来分析和弦以及和弦转换。例如
I
0
作用到 C 大三和弦会得到 f 小三和弦，
I
0
{ 0 , 4 , 7 } = { 0 , 8 , 5 } 。
I
0
作用到 C 大三和弦会得到 f 小三和弦
5. 传统大调（ C 大调：{ 0 , 2 , 4 , 5 , 7 , 9 , 11 } ) 可以通过模 12 加法循环产生不同的调式，例如 Dorian 调式、Phrygian 调式，这些变换操作可以视为是
群 Z
12
的循环子群
。
6. and so on……
二、五度圈
在十二平均律下，所有音程都由固定的半音数决定。
例如，五度（纯五度）对应于频率比为 3 : 2 或非常接近 3 : 2 的一对音高的音程[4]，由于
r
7
≈ 1.4983
, 那么在十二平均律中，纯五度 = 7 半音。
具体来说：
纯一度 = 0 半音；
小二度 = 1 半音；
大二度 = 2 半音；
小三度 = 3 半音；
大三度 = 4 半音；
纯四度 = 5 半音；
增四度 / 减五度 = 6 半音；
纯五度 = 7 半音；
小六度 = 8 半音；
大六度 = 9 半音；
小七度 = 10 半音；
大七度 = 11 半音。
纯八度 = 12 半音。
由七个基本音级（ C D E F G A B ）构成的调——C 调，叫做基本调。由基本调开始向上，按照纯五度关系连续相生（ 即每个音级向上移动 7 个半音），依此可以得到 G 调、D 调、A 调、E 调……等新调。
我们把各大调按照纯五度关系依次排列，顺时针代表上行纯五度，逆时针代表下行纯五度，这样我们就得到了著名的五度圈 [5]，如下图所示
五度圈，其中 Minor 代表小调，Major 代表大调
五度关系意味着每个音向上移动了 7 个半音，在我们第一节引入的模 12 的整数加法群
Z
12
中，这操作其实就代表着加 7 取模 12，即
T
7
。由于五度圈里覆盖了所有的十二大调、十二小调，没有遗漏，所以
T
7
生成的群也是一个 12 阶的循环群
C
12
，它和
Z
12
是同构的。
这一点可以从群论角度理解，由于 7 和 12 互素，即
gcd（ 7，12 ）=1
，它同样可以生成整个十二阶循环群。另一方面，由于 gcd（ 13，12 ）=3，gcd（ 4，12 ）= 4 ，于是由小三度关系和大三度关系不能生成所有的大调、小调，它们生成的实际上是
Z
12
的循环子群。
三、新黎曼理论与 PLR 群
如果单单止步于此那也没什么值得稀奇的，毕竟循环群在我们生活中随处可见。
但在调性音乐中，不同和弦之间的变换可以用数学方法来分析。
一个重要的理论分支是新黎曼理论 [6]（Neo-Riemannian theory），其中最重要的内容是
PLR 转换模型
和
音网。
相比于传统的调性分析，新里曼理论更强调和弦之间的局部关系。
在新黎曼理论中，三和弦之间有三种基本转换方式，分别为：
