正文
某个实数，它是一个序列收敛的极限，或者成为一个集合所具有的最小上界，或者是一个嵌套区间集中所有区间的公共点。在数学家们探索微积分的逻辑基础的过程中，他们认识到，这种存在对于他们在理论上追求的目标而言通常已经足够了。无须明确地求出一个实数，只要得知某处存在一个实数可能就足够了。实数的完备性所提供的就是这种保证。
人们也许会问：实数的完备性既然如此重要，那么我们如何证明这种性质的存在？为了回答这个问题，需要数学家们对实数系本身了如指掌。从自然数出发，一项直接的任务是定义整数，包括正整数、负整数和数零，再从整数定义有理数。但是我们能够从更基本的数系建立实数吗，正如通过整数定义有理数那样？
对于这个问题，给出肯定回答的是康托尔，同时，他的朋友理查德·戴德金（1831—1916）也独立地给出这种回答。
康托尔的实数系的结构以有理数的柯西序列的等价类为基础。戴德金的方法则采用把有理数分为不相交类的划分，也就是通常所说的“戴德金分割”。对于这些问题的彻底讨论将会使我们远离正题，对本书而言，用有理数构造实数是一个略微深奥的主题，而且对大多数分析学教程来说，这实际上也是颇为神秘的。然而，康托尔和戴德金成功地完成了这种构造，然后运用他们的思想证明实数的完备性，作为他们新开辟的领域的一个定理。
可以把这个成就视为微积分同几何学分离的决定性步骤。戴德金和康托尔最终回归到算术的基础——自然数，由此到达实数，然后证实它的完备性，而最终使全部分析学得以建立起来。他们取得的这个成就使他们两人获得一个贴切的但是拗口的绰号：“分析学的算术化家”。
康托尔在1874年写了一篇题为“论全体实代数数的总体性质”的论文。
在这篇文章中他采用“区间的不可数性”作为标题，选择这个标题并不是为了定义实数。这是数学史上的一座里程碑，用Joseph Dauben的话说，这展示了康托尔“对于提出深刻的问题以及不时探索始料未及的解法以至寻求非正统答案的天赋”。
很奇怪，这篇论文的重要意义被它的标题掩盖了，因为关于代数数的结果只不过是文章的真正革命性思想的一个推论，尽管是最有价值的推论。简单地说，这个思想就是一个序列不能穷举一个开区间中的全部实数。正如我们将会看到的那样，康托尔的论证包含了实数的完备性性质，因此把它放在实分析的领域是恰当的。
定理
如果{
x
k
}是不同实数的一个序列，那么实数的任何有界开区间（
α
,
β
）含有不包括在{
x
k
}中的一点。
证明
工康托尔从一个区间（
α
,
β
）开始，并且按照连贯的次序
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
, …考察序列。如果在这些项中没有一个或者仅有一个落入（
α
,
β
）内的无穷多实数中间，那么定理显而易见是正确的。
撇开这种情况不谈，假定区间（
α
,
β
）至少包含序列中的两个点。这时我们来确定其中的前面两项，即具有最小下标的两项。我们用
A
1
表示较小的项，用
B
1
表示较大的项。这个步骤在图11-1中说明。请注意，序列的起初几项落在（
α
,
β
）之外，但是
x
4
和
x
7
落到区间内。按照我们的定义，
A
1
=
x
7
（较小的项），
B
1
=
x
4
（较大的项）。
图 11-1
我们作两点简单然而非常重要的说明：
-
α
A
1
B
2
β
；
-
如果某个序列项
x
k
落入开区间（
A
1
,
B
1
）内，那么
k
≥3。
上面第二个结论认定，在确定
A
1
和
B
1
时至少要用到序列的两个项，所以严格位于
A
1
和
B
1
之间的项必须具有
k
= 3或者
k
> 3的下标。在图11-1中，下一个这种候选项将是
x
8
。
康托尔然后检查区间（
A
1
,
B
1
）并且考虑同样的两种情形：这个开区间不包含序列{
x
k
}中的任何项或只包含{
x
k
}的一项；或者（
A
1
,
B
1
）至少包含{
x
k
}中的两项。在第一种情形，定理是成立的，因为在（
A
