在数的世界里，为什么要从自然数扩大到实数，进而扩大到复数？

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。由于乘法也是自然数的相乘，是加法的重复，因此也能自由地进行。也就说自然数的整体对于×是闭合的。所以在只考虑＋或×的时候。只要自然数就够用，没有必要再考虑新的数。

可是要考虑×的逆运算÷的时候，自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法结果却不一定是自然数。例如2÷3的结果就不是自然数。

自然数的范围太狭窄了，要想自由地进行除法运算，就必须增加新的数，这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内，＋，×，÷就可以自由地进行。

然而，想到＋的逆运算－的时候，这个范围又窄了。因为不能从小数减去大数，例如2－5，即使写出这个式子，也得不出答案。为了让这个式子也能有答案，就必须想出－3这样一个新数。也就是说要自由地做－运算，需要有一种新的数——负数。把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数，即有理数时，＋，－，×，÷四则运算可以自由的无限制地进行。换句话说 有理数对于四则运算是闭合的。

19世练的天才数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做 域 。按照这个叫法，也可以说整个有理数的集合是域。当然，叫域的除了有理数之外还有许多，对于我们来说最熟悉的首先就是有理数。

当数的世界扩展到有理数时，＋，－，×，÷的计算虽然能自由地进行，但是还不具有连续性，所以仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要 无理数 。有理数与无理数合起来就是实数。有了实数就可以表示直线上所有的点。

总而言之，实数的集合就是对于＋，－，×，÷闭合的一个域，同时还具有连续性。到此为止，似乎可以认为数的世界扩展可以暂时停止了。

可是，如果实数世界就是终点，数的交响乐不过是缺少最后乐章的未完成的交响乐而已。随着实数而来的最后的乐章就是复数。

四则逆运算

以前扩大数的世界时，在很多情况下它的契机是逆运算。例如，由于×的逆运算÷而增加了新的分数；由＋的逆运算－而产生了新的负数。从实数产生复数的契机也仍然基于逆运算。假如我们对于x这样一个实数任意进行＋，－，×，÷四则运算时，可得到以下的式子：

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