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一般代数系统包括那些具有非常简单的公理构成，以及那些不容易被包含在群、环、域或其他代数系统中的结构。

代数几何将代数与几何相结合，使二者彼此互利。例如，于1995年被证明的“费马大定理”，表面上看是关于数论的陈述，但其实是通过几何工具才得以证明。反过来，由方程定义的集合的几何性质，是用复杂的代数机制来研究的。这是一个魅力非常的领域，许多重要的课题都非常深奥，椭圆曲线就数其中之一。

线性代数，有时会被“乔装”成矩阵论，它考虑的是能维持线性结构的集合与函数。它涵盖的数学范围非常广，包括公理处理、计算问题、代数结构，甚至几何的一些部分；此外，它还为分析微分方程、统计过程甚至许多物理现象提供了重要的工具。

范畴论是一个相对较新的数学领域，它为讨论代数与几何的各个领域提供了一个通用的框架。

K理论是代数与几何的有趣结合。最初是为了拓扑空间（向量丛）定义，现在也为环（模）定义，它为这些物体提供了额外的代数信息。

组合数学（或称为离散数学）则着眼于集合的结构，其中某些子集是可区分的。例如，一副图是许多点的集合，其中一些边（两个点的集合）是给定的。其他的组合问题要求对具有给定属性的集合的子集进行计数。这是一个很庞大的领域，计算机科学家和其他数学以外的人对此都非常感兴趣。

序集合（格）可以为例如一个域的子域集合，给出一个统一的结构。各种特殊类型的格都具有异常完好的结构，并且应用在群论和代数拓扑等多个领域中。

几何学是数学中最古老的领域之一，几个世纪以来，它经历了数次重生。从一个极端来看，几何学包括对首次在欧几里得的《几何原本》中出现的刚性结构的精确研究；从另一个极端来看，一般拓扑学关注的是形状之间最基本的亲缘关系。代数几何中也隐含着一个非常微妙的“几何”概念，但如上文所注，它其实更偏向于代数。其他的一些也能算得上是几何的领域有K理论、李群、多复变函数、变分算、整体分析与流行上的分析。

几何学  图片来源：NPI

几何学是一门从多方面研究的学科。这一大块区域包括经典的欧几里德几何和非欧几何、解析几何、重合几何（包括射影平面）、度规性质（长度与角度），还有组合几何学——如从有限群论中出现的几何。

流形是像球体一样的空间，从局部来看它像是欧几里德空间。在这些空间里，我们可以讨论（局部的）线性映射，还能讨论函数的光滑性。它们还包括许多常见的表面。多面复形是由许多块的欧几里德空间的部分组成的空间。这些空间类型认可关于映射与嵌入问题的精确答案，它们尤其适用于代数拓扑中的计算，能细致的区分等价的各种不同概念。

凸几何与离散几何包括对在欧几里得空间中的凸子集的研究。它们包括对多边形和多面体的研究，并经常与离散数学和群论重合；分段线性流形让它们与拓扑学交叉。除此之外，这一领域也包括欧几里得空间中的镶嵌与堆积问题。

微分几何是现代物理学的语言，也是数学领域的一片乐土。通常，我们考虑的集合是流形（也就是说，局部类似于欧几里德空间），并且配备了距离度量。它包括对曲线和曲面的曲率研究。局域型问题既适用又有助于微分方程的研究；整体型问题会经常调用代数拓扑。

一般拓扑学研究的是只含有不精确定义的“闭合”（足以决定哪些函数是连续的）的空间。通常会研究一些带有附加结构的空间（比如度量空间，或者紧致豪斯多夫空间），并观察一些属性（如紧致）是如何与子空间、积空间等共享的。拓扑学广泛应用于几何学与分析学，也使得出现一些奇异的例子和集论难题。

代数拓扑是研究附属于拓扑空间的代数对象，代数不变量说明了空间的某些刚度。这包括各种（上）同调论、同伦群，以及一些更偏几何的工具，例如纤维丛。其代数机制（主要来自同调代数）非常强大，使人生畏。

分析学研究的是从微积分和相关领域中获得的结果。我们可以将它进一步划分为5个小部分：

微积分与实分析

复变量

微分方程与积分方程

泛函分析

数值分析与最优化

分析学  图片来源：NPI