投资工具介绍（2）——凯利公式

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2253225112.5 输 112.5

从表中可以看出，每次都下注50%的资金，参与了3次，赢了2次，最终的资金是一样，和输赢出现的顺序无关。可以推测，如果参与了300次，赢了200次，无论这200次盈利是以怎样的顺序实现，最终的结果都是一样的。

例2：参与赔率对自己有利的游戏

如果有人和你玩猜硬币的游戏，你如果猜错了，会输掉赌注；如果猜对了，除了返还赌注外，还会再额外赢得2倍赌注（1赔3）。如果猜对和猜错的概率各是50%的话，这是一个赔率对你有利的游戏，你也应该持续参与。你有100元，每次投入资金的80%，现在也模拟一下各种情况下的最终资金：

情况1：
轮次	初始资金	投入资金	结果	最终资金
1	100	80	赢	260
2	260	208	输	52
情况2：
轮次	初始资金	投入资金	结果	最终资金
1	100	80	输	20
2	20	16	赢	52

咦？怎么回事？不管是先赢再输，还是先输再赢，结果都是钱越赌越少了！ 再这么持续下去，来个10来轮，就剩个零头了。 说好的赔率对自己有利，要持续参与呢？

其实，在赌博中能否获胜，不仅跟概率和赔率有关，还跟每次下注的比例有关。下注比例不合适，即使获胜的概率大，赔率对自己有利，也不见得能获胜。凯利公式就是专门用来解决赌博时每次下注比例的工具。

凯利公式在赌博中的应用

凯利先生等了这么久，终于该到了闪亮登场的时候了。凯利是美国贝尔实验室的物理学家，他通过研究信息论，发现赌徒可以在知道胜率和赔率的情况下，确定最优的下注比例，从而使自己的长期复合收益最大化。凯利1956年发表了一篇论文，把这个方法发表了出来。

这里需要强调一点，凯利先生虽然发明了凯利公式，但他却对赌博兴趣不大。而数学家索普看到这个论文后欣喜若狂，他把这个公式发扬光大，在赌场和华尔街赚的盆满钵满，成就了自己量化投资之父的地位。

凯利公式有几种形式，其中的一种如下：

f=p/a-q/b

其中：f表示分配的资金比例

p表示获胜的概率

q表示失败的概率

a表示失败损失率，指失败后押注的资金从1变成1-a

b表示获胜增长率，指获胜后押注的资金从1变成1+b

如果f算出来是0，表示这是一个期望收益为0的游戏，最优决策是不参加。

如果f算出来是负数，表示这是一个期望收益为负的游戏，更是不能参加了。

如果f算出来是小于1的正数，就应该按照这个比例下注；如果是个大于1的数，最优的决策是需要借钱来参与这个游戏。

对于例1来说，我们把数字代入进去：

p=2/3，q=1/3，a=1，b=1，计算出f=1/3

我们把例1重算一下，利用凯利公式，每次投入资金的1/3，结果如下表所示

例1：f=1/3
轮次	初始资金	投入资金	结果	最终资金
1	100	33.3	赢	166.6
2	166.6	55.5	赢

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