4.8* Hausdorff维数及其相关（8）—— 万法归一

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2017-05-28 22:13

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让我们来回忆一下这些测度的定义方式吧。我们考虑过两个思路：一种是用覆盖，即用一族特定的子集去盖住原来的集合。我们预先会对集合族中的每个元素给一个非负值。然后通过对这些用来覆盖的子集所对应的值进行求和，取下确界，就得到了我们想要的。另一种思路就是反过来进行，即在前一节提到的填充。然而单纯使用填充的方式还是太幼稚了，并不能保证可数可加性。因此我们最后依旧还是需要对原集合进行分拆求下确界的处理方式。

有心的朋友可能已经发现了，无论我们使用了哪种方式，我们实际上都是考虑对于集合的覆盖（因为分拆也是某种意义上的覆盖），然后对于每种覆盖给出某个值，最后再对所有可能的覆盖取下确界。既然如此，让我们用数学的语言来讲述一下这个过程吧。

不过在具体做餐之前，我们还需要准备一些材料。我们将讨论的空间还是放到欧氏空间 $\mathbb R^n$ 中. $\mathcal F$ 是 $\mathbb R^n$ 中的某些子集组成的集合族。它可以是所有的子集合（比如Hausdorff测度的定义）组成，也可以是一些特定的子集组成的，比如只取 $\mathbb R^n$ 中的所有的球（球覆盖测度的定义）。然后我们再定义一个非负值的函数 $\eta\colon \mathcal F \to \mathbb R_{\ge 0}$ . 我们希望这些材料满足下面这些性质：