1900 年,38 岁的希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学会议上以“数学问题”为题的演讲中提
出了
23 个重要的数学难题
,即众所周知的“希尔伯特问题”,激励和推动了后来一个多世纪许
多数学分支的蓬勃发展。简而言之,希尔伯特的
第 1 - 6 问题关于数学基础理论
,
第 7 - 12 问题关
于数论
,
第 13 - 18 问题属于代数和几何
,而最后的
第 19-23 问题属于数学分析范畴
。经过许多 数学家长期的努力,目前大多数问题都得到了完全或部分解答。鉴于他本人的研究兴趣和当时的历史条件,希尔伯特问题中未能包括拓扑和微分几何等重要领域的数学问题,也基本上没有涉及应用数学和计算数学。当然,没有人会苛求希尔伯特用 23 个问题去涵盖浩瀚的数学分支和内容。实际上,二十世纪数学的发展远远超出了希尔伯特当时的设想。
希尔伯特的第二问题是有名的
“判定问题”
,它至关重要,涉及整个数学基础,关心数学是否完备和一致?是不是所有数学命题都可以通过有限次正确的数学步骤作出判定?希尔伯特雄心勃勃,要将整个数学体系严格公理化,然后用他的所谓“元数学”(证明数学的数学)来证明整个数学体系是坚不可摧的。为了这个目标,他制定了一个后人称之为“希尔伯特计划”的部署:首先,将所有数学形式化,把每一个数学陈述都用符号来表达。然后,证明整个数学系统是完备的,即对任何一个数学陈述都存在一个数学证明。同时,还要证明数学是一致的,也就是说绝不存在自相矛盾的陈述。最后,还要有一个可以实现的算法,通过有限步程序最终判定数学陈述的对错。显然,这是一个野心勃勃的宏图大计,但希尔伯特并不认为它是不可能的。 他非常自信,断言“不存在不可解的问题”。