数学的伊甸乐园——康托创立集合论

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他22岁时获得柏林大学数学博士学位，博士论文是关于数论方面的。他在博士论文中提出了一些奇异的观点，这在常人看来似乎有些“离经叛道”。他却认为，数学中提问的艺术比起解法来更为重要。后来，康托尔对数学独特的贡献就在于他以特殊的提问方式开辟了广阔的研究领域。1869年康托尔在哈雷大学担任助教，主要研究数论、不定方程和三角级数。

集合论的诞生

从古希腊时候起，对“无限”问题的研究就一直是数学家努力攻克的堡垒之一，但这一工作极其困难。比如，某种无穷多事物的计数问题，两类无穷多事物的个数的比较问题等，人们对此类问题的认识还不够深入，致使数学中有许多遗留问题未能得到彻底解决，例如实数是否可数？实数有多少？等等，在分析学中也留有不少的疑问。

到了19世纪下半叶，德国另一位大数学家戴德金作出了重大突破，他是对20世纪有极大影响的数学家。戴德金曾著文论及“无限”，认为一个系统S如能和本身的一部分相似，称为是无限的，否则是有限的。

在伽利略问题提出200多年以后，1873年康托尔开始了有关集合和无限等问题具有变革意义的工作。他第一次系统地研究了无穷集合的度量问题，并给出了度量集合的基本概念：一一对应，以此作为衡量集合大小的一把“尺子”。这样，如果两个集合之间能够建立一一对应的关系，就说它们的个数是相等的。康托尔利用自己的这一结论成功地证明了实数集合与自然数集合之间不能建立起一一对应关系，从而证明了实数集合是不可数的。也就解决了伽利略问题。同年12月7日，他把自己这一发现写信告诉戴德金。以后，数学史家把这一天看作是集合论的诞生日。

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