正文
一类是通过测量轻子与氢原子的弹性散射截面得出质子的电荷和磁荷形状因子
(G
E
，G
M
)
。
在
忽略相对论效应的近似情况下，
电荷形状因子可以被解释为质子电荷三维空间分布的傅里叶变换
其中 Q
2
为轻子-质子散射的四维动量转移，其直观的物理含义为散射过程的观测尺度。Q
2
值越大，观测尺度越小，从而越能观测到质子内部更精细的结构。质子的电荷半径平方
（r
p
2
）
可定义为电荷密度 ρ
E
(r) 的二阶矩，近似等于电荷形状因子在动量转移为零
（Q
2
= 0）
时的导数
现代的物理理论研究表明相对论效应无法在实验中被忽略，因此测量得到的形状因子与横向的电荷二维分布相关，而无法给出准确的径向信息
[3
]
。
另一类方法则是精密测量质子电荷分布对氢原子能级分布的影响
（Lamb Shift，兰姆位移）
，再通过理论计算反推出质子半径。我们知道氢原子的核外电子运动满足一定的概率分布，但没有确定的轨迹与方向。其空间分布如同云状，因此也常用“电子云”来描述。由于质子具有内部结构，所以核外电子也会有一定几率出现在质子内部，从而导致电子所“感受到”的质子电荷改变，这细微的能级变化便与质子电荷半径有关。由于质子电荷半径的影响非常小
（比如在 2S-2P 能级跃迁中大概只占 0.014%）
，因此这类实验方法需要高度精确的光谱测量以及高阶的量子电动力学
（QED）
理论计算。
2010 年，CREMA 课题组在瑞士保罗谢尔研究所
（Paul Scherrer Institute，PSI）
将质子半径的测量精度提高了两个数量级。CREMA 利用μ子替换了氢原子的核外电子，制造了半衰期只有2.2微秒的2S态μ-氢原子
（μp）
，并测量了2S − 2P的能级跃迁，以此计算得出 r
p
= 0.84184 ± 0.00067 fm
[4
]
。由于μ子质量大，玻尔半径小，μ-氢原子的能级对质子的电荷半径更为敏感
（约占2%）
，因此该实验才实现了极为精确的测量。
但是，CREMA的测量结果却比国际科技数据委员会
（CODATA）
给出的数值
（CODATA14: r
p
= 0.879 ± 0.011 fm）
相差了5.6个标准差！CODATA的结果是基于过往实验结果的加权平均，这些数值均依赖于普通氢原子的兰姆位移测量以及电子-质子的弹性散射反应。因此这个差距暗示了μ子可能不如标准模型所描述的那样符合轻子普适性，从而引起了原子物理、核物理以及高能物理等领域的广泛兴趣，被称为
“质子电荷半径之谜”
。
在随后进行的实验中，该课题组利用μ子继续测量了氘、氦-3与氦-4的核子半径，并发现氘的核子半径也与以往的测量结果有差距
[5
]
，但氦-3和氦-4的初步分析结果却符合预期
[6
]
，从而进一步加深了这个谜题。自2010年始，多领域的研究者们花费了大量的时间与精力，试图从理论以及实验上解释这个谜题。
从2010年以来，科学家用电子-质子散射（红色）、常规氢原子光谱（蓝色）、μ子-氢原子光谱（灰色）这几种方法测量了质子的电荷半径，其数值分布如图所示。误差棒表示了实验的误差范围，两条带状阴影表示 CODATA在2014和2018年采用的质子半径数值。到了2019年，
氢原子光谱法
[1
]
与
电子-质子散射法
[2
]
测得的质子电荷半径终于吻合。
[7
]
